行星的旋转轨迹：开普勒行星运动三大定律

在古希腊，尽管人们发现了几条物理学定律，但距离建立一个理解世界的科学体系还很远。

把时间轴逐渐拉近，有一位科学家让我们无法忽略，他关于行星围绕太阳旋转的发现，对牛顿发现万有引力定律具有启发性作用，打开了现代物理学的新局面，他就是开普勒。本堂课，我们就来谈谈开普勒的行星运动三大定律，以及关于他的一些有趣故事。



开普勒

说到开普勒，就不得不提一个人，那就是哥白尼。哥白尼有什么成就呢？哥白尼是第一个系统地提出日心说的人。他认为，所有行星都绕着太阳转，而不是绕着地球转，当然，地球也是行星之一，也绕着太阳转。

不过，哥白尼认为，行星绕太阳旋转的轨迹应该是一个圆。结果，他的日心说和行星观测数据不大吻合。因为两者不吻合，因此在很长一段时间内，哥白尼的日心说还取代不了流行了将近2000年的地心说。也许大家会问：“为什么错误的地心说与观测数据反而更加吻合呢？”其实，简单的地心说也不行。比如，假定水星在一个圆形轨迹上绕着地球转，这显然行不通，因为水星偶尔也会反过来走，也就是水星逆行。所以，在这个圆形轨迹上，西方的古代人又加了一些小圆。只要有足够多的小圆，地心说就“得救”了。日心说和行星观测数据不大吻合，让支持哥白尼的人郁闷了很长时间，他们摆脱不了古人的影响，认为天体的运动轨迹只能是圆形的。

这时候，开普勒闪亮登场，他认为行星轨道是卵形的。什么是卵形呢？就是它看上去类似椭圆，一头大一头小，有点像鸡蛋的形状。开普勒画了20多种卵形，最后发现椭圆最为准确，为此他还用数学公式描述了一遍，这就是开普勒第一定律：行星轨道是椭圆的，而太阳处于椭圆的一个焦点上（比开普勒大7岁的伽利略一直认为行星轨道是圆的，不是椭圆的）。然而，这条定律对我们理解行星运动的物理规律帮助不大。

但椭圆的作用对我们却很重要，可以说，它是物理学中最重要的曲线。什么是椭圆？椭圆是圆锥曲线之一。什么是圆锥曲线？拿一个圆锥，用一个平面截取它，如果这个平面和底面平行，截出来的就是一个圆；如果这个平面斜一点，截出来的就是椭圆，比圆要扁一些。那么，椭圆的焦点是什么？有一个画椭圆的方法可以拿来解释这个焦点：拿两个图钉钉在木板上，然后拿一根长度超过两个图钉之间距离的软线，两头系在图钉上，再拿一支笔放在这根线上，拉直了，画一条曲线，这条曲线就是一个椭圆，而那两个图钉的位置就是焦点。

用图钉和软线画椭圆

也就是说，焦点位于椭圆长轴那条直线上，两个焦点到椭圆上任一点的距离加起来是不变的。如果两个焦点重合为同一点，那么这个椭圆就变成圆了。

这里要提到一个人，他就是第谷。第谷出生于1546年，比开普勒大25岁，当然，他比哥白尼还是小了不少的，因为哥白尼出生于15世纪。第谷是天文学家，也是星相学家。其实，那个时代的天文学家都是占星学家，要不然会少很多收入，毕竟国王和贵族这些有钱人大多是相信占星学的。那时，丹麦的国王叫腓特烈二世，应这位国王的邀请，第谷在哥本哈根附近的汶岛建立了一座天文台。那一年第谷30岁，可以说是年轻有为。

第谷在汶岛整整观测了20年，发现了不少好东西，比如行星的运动轨迹及月球的运动规律。在建立天文台之前，第谷还发现了一颗超新星。这个发现很重要，因为这说明：除了行星，宇宙中还有其他星体。

根据对行星的观测，第谷提出了不同于哥白尼日心说的模型，他的学说介于地心说和日心说之间。第谷认为，行星绕着太阳转，而太阳带着行星绕着地球转。当然，今天我们知道，这个说法也是错误的。

第谷出身于丹麦贵族，所以也染上了“贵族病”。在20岁时，他与另一位贵族子弟在别人的婚礼上吵架引发决斗，导致自己的鼻梁被打碎，所以后来他一直戴着一个金属鼻梁（传说是由金银制成的）。1901年，有人挖到了第谷的墓，发现他的假鼻梁是铜做的。大家觉得这很合理，因为铜比金银要轻。

第谷死于膀胱方面的疾病，死时55岁。他死后，开普勒继承了他的位置，同时也获得了第谷生前不愿意给开普勒的行星资料。

可以猜想，如果第谷能活得更长一些，也许就轮不到开普勒来发现行星运动的第三定律了。

其实，相比于第谷，开普勒也不简单，他也是一位星相学家，为罗马帝国皇帝鲁道夫二世提供占星咨询，也帮助其他国王做类似的事，所以他的社会地位很高。开普勒也借此让很多国王出钱支持他搞研究。毕竟科学研究是需要很多钱的。

开普勒出生于1571年，虽然家庭算不上富裕，但生活条件也是很不错的。那时，要做一个科学家，家庭条件不能差，否则连大学都上不起。开普勒是一个天才少年，17岁就获得了文学学士学位，20岁就拿到了文学硕士学位。25岁的时候，开普勒出版了一本书，并在这本书中宣传哥白尼的日心说。29岁的时候，开普勒成了第谷的助理。

开普勒在26岁的时候，也就是在他成为第谷的助理之前，他与一位出身名门的寡妇结了婚。因为这位寡妇出身名门，所以有点看不上开普勒，举止傲慢的妻子使他很少感受到家庭的温暖。1613年开普勒42岁时，他的妻子去世。后来他娶了一个穷人家出身的女人，两人感情很好，不过由于孩子多，家庭经济状况不太好。开普勒与两个妻子共生有12个小孩，但大多夭折了。开普勒是教徒，不过是位新教徒。

开普勒第一定律认为天体的运动轨迹不是一个完美的圆，这对传统的教会教条发起了挑战。传统观点认为，天体围绕圆形轨道匀速运动。而开普勒认为天体的运动轨道是椭圆形的。那么，按开普勒的观点来看，行星的运动还会是匀速的吗？

此时，开普勒研究出了第二定律，相比第一定律，第二定律就很有意思了。开普勒第二定律认为，行星连接太阳的那条线在相等的时间内扫过的面积相等。在今天看来，这条定律相当于角动量守恒定律。什么是角动量？就是行星的质量乘以行星的速度再乘以行星到太阳的距离得出的结果。当然，这里还要注意行星速度与行星到太阳的距离的夹角，如果夹角是直角，那就什么都不用做；如果夹角不是直角，那就要再乘以这个夹角的正弦。如果将角动量中的质量拿走，那么这个量就是行星在单位时间里扫过的面积（严格来说，再拿走一个2倍的质量才是面积）。关于角动量，有一个直观的例子：我们观看花样滑冰时，运动员旋转时将原本张开的手臂收拢，旋转速度加快。这就是角动量守恒的实际应用，张开手臂时，旋转速度必然小一些，因为手臂离旋转的中心远一些。

我们通过开普勒定律可以推导出一个事实：两个质点之间的引力方向正处于两个质点之间连线的方向上。



角动量守恒

开普勒是在1609年发表第一和第二定律的，之后，开普勒用了10年时间才总结出第三定律，因为这条定律在开普勒行星运动三大定律中是最复杂的。同时，他也忙于其他事情，比如，用当时的新事物——望远镜观测天象，完成了一个星表制作，还在第一任妻子死后结了第二次婚。

开普勒第三定律是指行星公转周期的平方与它到太阳的距离的立方成正比（该距离是指行星的椭圆轨迹长轴长度的一半）。相比开普勒第一定律和第二定律，这条晚了10年才发表的第三定律很重要，正因为有了它，牛顿才推导出了万有引力定律。用这条定律，我们可以知道，如果行星离太阳越远，它走完一圈所用的时间就越长。所以，离太阳最近的水星绕太阳一圈所用的时间最短，一个水星年只有88天；离太阳第二近的金星绕太阳走一圈所用的时间大约是225天；接下来才是地球。离太阳第四近的行星自然是火星了，一个火星年约687天；离太阳第五近的行星是木星，一个木星年是一个地球年的近12倍；一个土星年是一个地球年的30倍左右。我们就不谈天王星和海王星了，因为在开普勒时代，这些行星还没有被发现。

从开普勒第三定律中我们还能发现什么？要知道，行星公转周期的平方与它到太阳的距离的立方成正比，这个信息量很大。假如行星的速度都一样，因为椭圆的周长与距离成正比，那么行星跑一圈下来需要的时间就该与它到太阳的距离成正比。也就是说，应该是行星公转周期的平方与它到太阳的距离成正比。然而，现在却是周期的平方与距离的立方成正比，也就是说，周期与距离的3/2次方成正比。那么行星的速度是多大呢？行星的速度可以用距离除以周期（这里忽略了一个常数）。也就是说，速度与距离的开方成反比，越远的行星，速度越小。就这样，牛顿的万有引力定律就呼之欲出了。

什么意思呢？既然行星的速度与它到太阳的距离的开方成反比，那么行星的动能就与距离本身成反比。聪明的同学马上会跳起来说，行星的万有引力势能也与距离成反比，这不就是万有引力定律吗？

被抛出的石头、射出的子弹沿着抛物线运动，是因为万有引力；月亮绕地球运动、人造卫星绕地球运动，也是因为万有引力。