点都没有理解，如何理解几何——数学

今天阳光明媚，成都一年之中很少有的天气，这么好的天气，弯弯和楠楠在学校的学习心情也不错吧。

前天在小蜜蜂分享之后，晚上回来还讨论了半夜，昨天还和平平爸讲起同样的话题。起因是什么呢？咱来看一个图：

这是福姐的妈妈在现场画的，也是现场唯二的理科生。这个图是什么意思呢，现场的时间太短，题目又比较大，所以，无法停留在这个点上去深入。现在有时间，那就把它讲清晰一些。

就是讲，在同一平面上任画条不同长度、不相交的线段（为了好理解，就画得近一些吧，），把它们的端点分别连接起来，两边端点的边线一定交于一点，从而构成一个三角形。

要是还不容易理解，就直接先画一个三角形，然后，在三角形内画一条平行于底边的线，这可以同样理解我们下面的命题：

两条不同长度的线段，无论它们相差多长，其实构成它们的点是一样多的。（听起来有一些扯。）

这个证明，不是我想出来的，是其他优秀的头脑想出来的。我只是通过它明白了这个道理。
就是，任意在下面长线上找出一点来，直线连接三角形的顶点，总会通过中间那根短线，这时产生的交点，就是长线与短线对应的点。

扩展一个，这个扩展，只能够在思想之中进行，那就是，把这个过程遍历长线上所有的点，那么短线上同样会有相对应的点。这个时候，如果有人讲，短线上的点，会不会重复呢，嗯嗯，那么用三角的关系再画几个图，就能够理解了，确定不可能的。

我在几个月前说起这个事情的时候，奥奥告诉我，昨天灵通妈同样告诉朋友们，也可以用两个同心圆来理解这个问题，就是，大圆上任意一点与圆心的连线必定经过小圆上唯一的对应点。这也就证明了，大圆上的点和小圆上一样多。

那么重点来了，为什么长的会和短的线上的点一样多呢，线不是由点构成的吗，这一点连小学生都知道，要知道，咱用一些小球来排成一条线的话，那么构成长线的小球一定比短线的多。

是这样子想的话，一定要注意了，小球是有体积的，点可没有体积，面积，和任意的可以量度的大小的。

平平爸说，你的高等数学是咋学的？线的长度是由点的积分得来的。不知道在看这个公众号的朋友，有没有这样的认知。在这里，我想讲的是，把无限多个点，无论这个数目是多大，把它们紧紧的排成一条线，而且不重叠，它们会有多长呢，很确定的告诉大家，长度为零。也好理解吧，你把一亿、百亿……还是数不清的亿加起来，等于多少呢，当然是零嘛。

那积分是怎么回事儿？比如，把一条线分成无数等份，每一份的长度趋于零，无限接近于零，然后，把它们再加起来，当然就又变成了这条线的长度。这就是积分。积分里积的可不是点，点没有长度，积分里积的叫微元，在线的这个例子中，就是一段小小的长度，但是，它再小也是一段长度。这就说，如果在高中，无法准确的掌握极限的概念，那么大学的数学就无法进行下去的原因。

这里就要说重点了：

1、线是由点构成的，没有问题。

2、但是，线不是由一个一个的点紧紧的排起来构成的。

3、线是由点的移动而形成的。

说了这三条，它们到底有啥区别嘛。区别就在于第二，和第三点，第二点其实是讲线是由离散的点排列起来形成的；第三是讲线是由点的运动而形成的连续不断的轨迹。这样一想，是不是，感觉咱弄一条线，还是连续的比离散的好一些吧。

弯弯上一年级的时候，我就告诉她，老师说的，咱们在黑板上画一个点，画一条线，是不对的。弯妈说我这是在误导弯弯，而且这是在抬杠。当然，我也一直没有认可这个事情，而且一直在坚持这样告诉弯弯，并试图让弯弯理解我讲的话。因为，我不想让她到了成人的时候，还没有理解这么基础的认知。

我给弯弯讲，点没有大小（长，宽，高），咱人的眼睛能够看见吗，弯弯说，嗯，咱们人眼睛看见任何东西的前提就是，它一定要有一个大小的。所以，老师在黑板上画的，不是一个点，而是一个有大小（面积），而且有颜色的一个面。孩子不能够理解吗，当然能够理解的。那老师说在黑板上画一个点，这句话对吗。如果说，这只是为了让孩子们去理解一个点而画的示意图，那当然可以。

再有，老师用三条线画出一个三角形，孩子们看见了这个三角形，它对吗，弯弯在几年前同样会知道它是不对的。因为，线是由点的移动构成的，而点没有大小，所以，线就一定没有宽度，而人的眼睛能够看见没有宽度的东西吗？这再显然不过了，所以，老师在黑板上画的是三条有颜色有宽度的长条，由它们构成了三角。

当然了，我和弯弯讲，上课的时候，可不要举手站起来和老师讲这个事情哟，嘿嘿，在没有讲这个之前，弯弯可是没有少在课堂上和老师讲，什么什么地方和什么什么书上讲的，或者和爸爸讲的不一致，老师还给了一种和小红花意义不一样的小绿花，贴在弯弯的名字下面。所以，弯弯在一年级一直都没有得到什么表扬。好在弯弯回来和我讲了这个问题，我就告诉了她前面的话，从此以后，弯弯的成绩就上来了，老师讲弯弯上课的表现也不错了。

到了现在，弯弯已经慢慢理解了一个事情，那就是为了表述一个抽像的事物，人们总想把这个事物具像化，从而理解起来要容易一些，也就是由于这些具像化的问题，也就造成了本来这些只能够存在于思维中的抽像概念，在不少人的思想里，它是一直是具像化的。

要向孩子表达一个概念的时候，我们的确可以为了理解的方便把它具像化，但是，一定要告诉孩子，它本身其实不是这样子的。不然的话，一旦孩子形成了固有的思维，可能九头牛都拉不回来了。因为这成了他的世界观的一部分，他就是这么认识世界的。

这只是我的想法，要是和您的有冲突，嘿嘿，前两天学到一句话，那就是：那您一定是对的。