无限的球与花瓶

我们有无限个球和一个花瓶，现在我们要对它们进行一系列操作。每次操作都是一样的：往花瓶里放10个球，然后取出 1 个球。那么，无穷多次这样的操作之后，花瓶里有多少个球呢？

有人或许会说，这个问题显然是荒谬的——这个过程需要耗费无穷的时间，我们不可能等到那个时候。那么，我们不妨换一个问法，避开所需时间无穷的问题：在差一分钟到正午12点时进行第 1 次操作，在差 30 秒（1/2 分钟）到正午 12 点时进行第 2 次操作，在差 1/2 n-1分钟到12点时进行第 n 次操作。那么，12 点的时候，花瓶里有几个球呢？

看似简单的描述，经过数学家的解释，却出现了千奇百怪的答案。最直观的答案当然就是花瓶里有无限个球了，因为每次都增加了9 个球，无限次之后，当然有无限个球。

数学家 Allis 和 Koetsier却不这么认为。他们认为，12点时瓶子里没有球，因为我们第 1 次放进 1 至 10 号球，然后取出 1 号球，第 2 次放入11至20 号球，然后取出 2号球。注意到，n 号球总是在第 n 次操作时被取出来了，因此无限操作下去，每个球都会被取出来！

可是，这个说法也有问题：前面的证明假设我们取出的依次是 1 号球、2号球、3号球等等，如果我们改成依次取 10 号球、20号球、30号球，那么最后瓶子里又出现了无限个球了。哪种观点是正确的呢？于是逻辑学家詹姆斯·亨勒（JamesM. Henle）和托马斯·泰马祖科（Thomas Tymoczko）认为，花瓶里有任意个球。他们还给出了具体的构造方法，说明最终花瓶里的球可以是任意数目。

如何让花瓶里的球为任意数目？其实方法很简单，希尔伯特旅馆提供了类似思路。希尔伯特旅馆有无限个房间，并且每个房间都住了客人。一天来了一个新客人，旅馆老板说：“虽然我们已经客满，但你还是能住进来的。我让1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号房间搬到 3 号房间n 号房间搬到 n+1 号房间，你就可以住进 1

号房间了。”又一天，来了无限个客人，老板又说：“不用担心，大家仍然都能住进来。我让 1 号房间的客人搬到 2 号房间，2号搬到4号，3 号搬到 6 号n 号搬到 2n 号，然后你们排好队，依次住进奇数号的房间吧。”

我们知道，分别把球按照1号2号3号这样编号。第一次操作，把1-10号球放进去，然后把1号拿出来。现在盒子里还有2-10号球。第二次操作，把11-20号球放进去，把2号拿出来，现在有3-20号球，以此类推操作下去。无穷多次这样的操作之后，花瓶里没有球。

在这个操作基础上，我们略作改变：第一次操作，把1-10号球放进去，然后把2号拿出来。现在盒子里还有1号和3-10号球。第二次操作，把11-20号球放进去，把3号拿出来，现在有1号和4-20号球，以此类推操作下去。无限次之后，第n次操作时取出来第n+1号球，1号球保留到了最后，所以花瓶里有1个球。

同理，最后可留下2个球，3个球至9个球。

但每次需放10个球，取1个球。每次留下9个球，那如何让最后留下10个球？

还是同样操作，稍微变一下而已。第一次操作，把1-10号球放进去，然后把10号拿出来。现在盒子里还有1-9号球。第二次操作，把11-20号球放进去，把12号拿出来，现在有1-9号球，11号球，13-20号球，第三次操作，把21-30号球放进去，拿出13号球，剩下1-9号球，11号球，14-30号球，以后的操作依次拿走14号球，15号球，16号球……最后只剩下1-9号球，11号球，共10个球。

剩余其它数目的球，也以此类推操作下去而已。

有人觉得这会产生逻辑错误：因为，在时间还没到达1分钟之前，放进瓶子里的球一定是有限的，只有当时间到达1分钟时，放进瓶子里的球才是无限的。所以，在时间到达1分钟之前，我们不去考虑瓶子里究竟还有多少球，我们只考查1这个时间点的操作，根据要求，在这个时间点需要放进10个球，而只拿出一个球，我们不管瓶子里原先还剩下多少球，但在1分钟的时间点上，瓶子里最少还剩下9个球，所以瓶子里球的数量不会是0.但编号为n的球在第n次操作被拿出来了，无论n是几。所以，哪个编号的球都不在花瓶里。这个解释在现在的数学极限理论中是没有逻辑错误的，但是，我们从上面推论出了盒子里球的数量一定不会是0，所以有错误的。

这所谓的逻辑错误，就是无限不同于有限的奇妙性质。明明还有9个球，最后却突然变成没有球。这就是无限把那9个球给吞没了。类似与黑洞一样，无限能吞没一切有限。

无限的数目，通过不同方式的无限次操作，能得到不同的有限数值。我们可以用这有限报值，代表不同操作下幻无限状态。这称之为对无限的赋值，也叫封装无限。