聚焦中考难点，令人眩晕的主从联动模型

圆的伴随轨迹问题是初中数学的重难点问题之一，常作为中考数学压轴题形式出现，需要学生具备较强的动态思维能力、图形建模能力，以及逻辑推理能力。

所谓伴随，是指两个点之间的一种伴同关系，自主运动的点称为在动点，遵循某种关系伴随其运动的点称为伴离点（也叫从动点），两者的轨迹形状是相似的。

本文研究其中的圆形伴随轨迹问题，即主动点在给定的圆上运动，其轨迹为圆形，此时伴随点的轨迹一般也为圆形。

解决此类问题的关键是找出伴随点的轨迹所在圆的圆心，即已知主动点、伴随点和主动点圆心，求伴随点圆心，方法是让主动点圆心作与主动点相同的操作。

下面通过引例及几道例题进行阐述：

引例题1：

如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是会是什么呢？

分析：分析题中主动点和从动点（被动点），发现题目中已经明确点P是⊙O上的动点，所以点P为主动点，当点P在运动过程中，点Q随着点P的运动而运动，所以点Q是从动点。题目中又说点P在圆上运动，可知点P的轨迹是圆，所以我们可以猜测点Q的轨迹是什么呢？对了，也是圆。

下面我们通过动画演示一下。

结论：通过观察，我们发现点Q的轨迹确实是一个圆，这就验证了我们的猜想。

证明猜想：

如图，连接OA,取OA的中点为B，连接OP、BQ,则我们可以知道，在△AOP中，BQ该三角形的中位线，所以BQ的长度等于OP长度的一半，OP为定长，则BQ为定长，根据前面我们学习的到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆，可以知道点Q的轨迹就是以B为圆心，以BQ上为半径的圆。

引例题2：

如图，如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是会是什么呢？

分析：先找出主动点和从动点，我们发现题目中已经明确点P是⊙O上的动点，所以点P为主动点，当点P在运动过程中，点Q随着点P的运动而运动，所以点Q是从动点。

题目中又说点P在圆上运动，可知点P的轨迹是圆，所以我们可以猜测点Q的轨迹是什么呢？对了，也是圆。

结论：通过观察，这种情形，我们发现点Q的轨迹确实是一个圆，这就验证了我们的猜想。请同学们结合我上面的证明方法，证明点Q的轨迹为圆。

【分析】根据AE⊥BD于点E可知，点E在AB为直径的圆上运动，然后由D的位置确定E的起点和终点，根据弧长公式进行计算即可．

【解答】：取AB的中点K，作AQ⊥BC于Q，作OG⊥BC于G，

在Rt△BOG中，∠OGB＝90°，

∴∠OBG＝30°，

同理∠ABO＝45°，∴∠ABQ＝75°，

∵AE⊥BD，∴点E在以K为圆心，AK为半径的圆上，

当D与C重合时，E与Q重合，

当D与A重合时，E与A重合，

∴点E的运动路径是弧AQ，

在Rt△ABQ中，∠ABQ＝75°，

∴∠BAQ＝15°，∴∠AKQ＝150°，

故选：D．

【点评】本题是圆形轨迹问题，根据定角所对的弦是定长，确定点的运动路径是解题的关键，是一道综合性较强的轨迹问题．

2．（2021•武汉模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB上的三等分点，E、F是弧AB上的动点，∠EOF＝60°，线段AE、BF相交于点D，M是线段BD的中点．当点E从点B运动到点C时，则M、E两点的运动路径长的比是（　　）

【分析】先求出点M的运动轨迹，再分别求出点E，点M的运动路径长，即可求解．

【解答】：设⊙O的半径是r，

∵点E从点B运动到点C，

如图，作△ABD的外接圆圆H，连接DH，AH，BH，OH，取BH中点G，连接OG，MG，

∵∠ADB＝120°，

∴∠AHB＝2×（180°﹣∠ADB）＝2（180°﹣120°）＝120°，

∵AH＝BH，AO＝BO，

∴OH⊥AB，∠HBO＝30°，

∴点M在以点G为圆心，MG为半径的圆上，

∴点D从点B运动到点A，

∴点M从点B运动到点O，

∵∠BOH＝90°，GH＝BG，

∴OG＝BG＝GH，

∴∠OBH＝∠GOB＝30°，

∴∠BGO＝120°，

3．（2020•青山区模拟）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直平分半径OA，动点M从点C出发在优弧CBD上运动到点D停止，在点M整个运动过程中，线段AM的中点P的运动路径长为（　　）

A．3π B．4π C．5π D．6π

【分析】如图，连接OC，设CD交AB于点E．首先证明在点M整个运动过程中，线段AM的中点P的运动轨迹是图中红线，利用弧长公式求解即可．

【解答】：如图，连接OC，设CD交AB于点E．

∵CD垂直平分线段OA，∴CA＝CO，

∵OC＝OA，∴AC＝OC＝OA，

∴△AOC是等边三角形，∴∠CAE＝60°，

当点M与C重合时，连接PE，OP，

∵PA＝PM，∴OP⊥AM，

∴∠APO＝90°，

∵AE＝EO，∴EP＝1/2OA＝3，

∵PE＝AE＝3，∠PAE＝60°，

∴△PAE是等边三角形，∴∠AEP＝60°，

∴在点M整个运动过程中，线段AM的中点P的运动轨迹是图中红线，

4．（2020•太仓市二模）如图，MN是⊙O的直径，弦AB∥MN，点C是直径MN上方半圆上的动点（包括端点M，N），∠ACB＝60°，∠ACB和∠CAB的平分线相交于点E，当点C从点M运动到点N时，则C，E两点的运动路径长的比值是（　　）

【分析】如图，连接OB，EB．设OM＝r．证明∠AEB＝120°，利用弧长公式计算即可解决问题．

【解答】：如图，连接OB，EB．设OM＝r，

∵∠ACB＝60°，

作△AEB的外接圆⊙J，连接JA，JB，OJ交AB于H．

当点C在点M的位置时，∠AMB＝60°，点E在点E'的位置处，而点E'在MJ上，

当点C到点N的位置时，∠ANB＝60°，点E在点E''的位置处，而点E''在NJ上，

而MG＝NJ，OM＝ON＝OJ，

∴∠MJN＝90°

5．（2020•天宁区校级模拟）如图，C是线段AB上一点，AC＝1/2CB＝2，以CB为直径作半圆O，P是半圆O上一动点，以AP为斜边向上作Rt△APQ，使得∠PQA＝90°，∠PAQ＝30°．若点P从点C沿半圆弧运动到点B，则点Q在运动中经过的路径长是（　　）

【分析】如图，过点A作⊙O的切线AR，R为切点，连接CR，OR，OQ，QR，OP．利用相似三角形的性质证明RQ＝√3即可解决问题．

【解答】：如图，过点A作⊙O的切线AR，R为切点，连接CR，OR，OQ，QR，OP．

∵AR是⊙O的切线，∴AR⊥OR，∴∠ARO＝90°，

∵AC＝1/2BC，∴AC＝OC＝OR，∴AO＝2OR，

∴∠OAR＝30°，

∵∠QAP＝30°＝∠OAR，∠AQP＝∠ARO＝90°，

∴△OAR∽△PAQ，

6．（2019秋•鼓楼区期中）如图，⊙O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．

（1）点P的运动路径是一个圆；

（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．

【分析】（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP＝1/2OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论；

（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．

【解答】（1）：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示：

则HP是△ABO的中位线，

∴HP＝1/2OB＝1，

∴P点到H点的距离固定为1，

∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；

（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：

∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，

∴PC⊥AB，PA＝PB＝1/2AB＝1/2BC，

通过今天文章的学习，我们进一步认识了主动点、被动点（从动点），学会了根据题目中的信息，猜测被动点的轨迹，并通过实际推理验证了轨迹的正确性，在今后的学习中，这一结论的使用，可以大大提高我们的做题效率。

给大家提供了分析问题的角度和策略，望大家务必要理解这类题型的分析方法，记住它是主从联动模型或者旋似模型，也叫手拉手肩并肩模型。

这类轨迹问题，通过恰当地构造辅助线，能够准确地确定出动点的轨迹，而确定出轨迹是快速解决这类问题的重要方法，大家要理解并加强训练。