中考数学压轴题分析：勾股树2

【中考真题】

（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

（1）①请叙述勾股定理；

②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有 个；

②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）

①a²+b²+c²+d²＝　 　；

②b与c的关系为 ，a与d的关系为 ．

【分析】

题（1）证明勾股定理，利用等面积法即可。来自课本的改编。

题（2）面积关系利用勾股定理即可得到，全部成立。

题（3）①也是利用勾股定理可以得到。

②则需要利用三角函数进行表示再得出，如tan∠1是两个直角边的比，然后再用b和c表示出来即可。a与d则类似。难度不大。

【答案】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²＝c²．

（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）

（2）证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．

即c²=1/2ab×4+（b﹣a）²，

化简得：a²+b²＝c²．

在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．

即（a+b）²＝c²+1/2ab×4，

化简得：a²+b²＝c²．

在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．

即1/2（a+b）（a+b）=1/2ab×2+1/2c²，

化简得：a²+b²＝c²．

（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；

故答案为3；

②结论：S1+S2＝S3．

∵S1+S2=1/2 π（a/2）²+1/2 π（b/2）²+S3-1/2 π（c/2）²，

∴S1+S2=1/8π（a²+b²﹣c²）+S3，

∴a²+b²＝c²．

∴S1+S2＝S3．

（3）①a²+b²+c²+d²＝m²；

②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．

故答案为：m²；b＝c，a+d＝m．